在多年的概率論教學(xué)過(guò)程中,筆者感覺(jué)到學(xué)生難以清楚地理解條件概率、積事件概率、全概率公式等概念,特別是在求解有關(guān)問(wèn)題時(shí),往往無(wú)處著手,出現(xiàn)思維障礙,從而影響了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。究其原因，基本上是對(duì)條件概率概念沒(méi)有很好地理解;在教學(xué)過(guò)程中，教師也沒(méi)有引起重視,一筆帶過(guò),而把重點(diǎn)放在全概率公式上,學(xué)生處于被動(dòng)的學(xué)習(xí)狀態(tài)。筆者擬就這一問(wèn)題的教學(xué)作如下研究。
每一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)都是在一定條件下進(jìn)行的。設(shè)a是隨機(jī)試驗(yàn)的一個(gè)事件，則p（a）是在一定條件下事件a發(fā)生的可能性的大小。而條件概率p（a/b）是指在原條件下又添加“事件b發(fā)生”這個(gè)條件時(shí)，事件a發(fā)生的可能性大小，即p（a/b）仍是概率，p（a）與p（a/b）的區(qū)別在于兩者發(fā)生的條件不同，它們是兩個(gè)不同的概率，在數(shù)值上一般也不相等。（注：“事件b發(fā)生”特指讀者已經(jīng)知道事件b發(fā)生，而實(shí)際上事件b往往在事件a發(fā)生之前發(fā)生，但也可以在事件a發(fā)生之后發(fā)生，如例1中求p（a1/a2a3），只是讀者還不知道事件a已發(fā)生，用p（a/b）來(lái)估計(jì)事件a發(fā)生可能性的大小。
例1：5個(gè)簽中的2個(gè)是“有”，3個(gè)是“無(wú)”，無(wú)放回地順次抽取，每人抽一個(gè)，用ai表示第i個(gè)人抽到“有”這一事件，則p（a2）===，p（a2/a1）=。
條件概率p（a/b）是在原隨機(jī)試驗(yàn)條件下又添加“事件b發(fā)生”這個(gè)條件時(shí)事件a發(fā)生的可能性大小，是否一定有p（a/b）≥p（a）呢？
這兩個(gè)概念從形式上看是容易區(qū)分的，但對(duì)于初學(xué)者來(lái)說(shuō)很容易混淆，有必要強(qiáng)調(diào)一下。條件概率p（a/b）是指事件b發(fā)生這個(gè)條件下事件a發(fā)生的概率，而p（ab）是指a、b同時(shí)發(fā)生的概率。因而“事件b發(fā)生”在p（a/b）中是作為條件，而p（ab）中是作為結(jié)果，所以?xún)烧卟幌嗤?/p>
例2：某班有男學(xué)生40人，女學(xué)生20人，通過(guò)英語(yǔ)六級(jí)者有15人，其中有女學(xué)生10人。在該班級(jí)中任意抽取一人，分別計(jì)算：
解：設(shè)a=｛所取的學(xué)生已通過(guò)英語(yǔ)六級(jí)｝，b=｛女學(xué)生｝，則（1）為求事件a、b的積事件的概率p（ab）==；（2）為求在事件b發(fā)生條件下事件a發(fā)生的條件概率p（a/b）==。
一是要從理論上推出該公式非常困難，但從事件a、b的文氏圖可直觀(guān)地解釋一下該公式，把p（a）看成為a的面積與必然事件ω的面積的比值，那么，p（a/b）為在b發(fā)生條件下a發(fā)生的概率，可理解為ab的面積與b的面積的比值，分別除以ω面積，即得條件概率公式p（a/b）=，可以讓學(xué)生從心理上接受它并加深印象，而公式本身已證明是成立的，只要加以說(shuō)明就行，這樣可起到降低難度的作用。公式給出了計(jì)算條件概率的一種方法。
例3：某種品牌的彩色電視機(jī)使用壽命10年的概率為0.9,而使用壽命15年的概率為0.5,試求某臺(tái)電視機(jī)已經(jīng)使用10年的情況下，能再使用5年的概率。
解:設(shè)b=｛電視機(jī)使用壽命10年｝，a=｛電視機(jī)使用壽命15年｝，則p（a）=0.5，p（b）=0.9因?yàn)閍發(fā)生必然導(dǎo)致b發(fā)生，即b?勱a，p（ab）=p（a）=0.5，p（a/b）===。
二是該公式的作用不僅僅用來(lái)計(jì)算條件概率，而且條件概率往往也可以直接算得，更重要的作用是用來(lái)計(jì)算積事件ab的概率，p（ab）=p（b）p（a/b）這就是我們所說(shuō)的乘法公式。
例4：在例1中，計(jì)算p（a1a2）=p（a1）p（a2/a1）=×=，p（a2）=p（a1a2+a1a2）=p（a1）p（a2/a1）+p（a1）p（a2/a1）=×+×=，同理可得p（a3）=p（a4）=p（a5）=，這道題目的解答也說(shuō)明了這樣一個(gè)問(wèn)題：無(wú)放回抽簽不分先后，各個(gè)人抽到好簽的可能性是一樣的，不必為輪到后面而不高興，關(guān)鍵的問(wèn)題是操作規(guī)則要公正。也許會(huì)問(wèn)前面的人好簽抽走了，最后面的人還會(huì)有嗎？那么要是前面的人沒(méi)有全部抽走好簽，最后面的人不是肯定能抽到好簽嗎？以上兩種情況都屬于條件概率。
如果沒(méi)有這個(gè)乘法公式，計(jì)算p（a1a2）難度就大得多了，得考慮兩個(gè)“好簽”給5個(gè)人中的兩個(gè)人抓到共有幾種方法？是用排列數(shù)計(jì)算呢，還是用組合數(shù)計(jì)算呢？每種方法是否等可能的？要仔細(xì)分析一下，最后得：p（a1a2）===。
一般教材都給出條件概率p（a/b）中p（b）必須大于0，那么當(dāng)p（b）=0時(shí)，p（a/b）是否有意義呢？
顯然條件概率公式是不能用了，當(dāng)a、b所在的事件空間 ω中的基本事件個(gè)數(shù)為有限個(gè)時(shí)，由p（b）=0，可得b所包含的有利事件個(gè)數(shù)為0個(gè)，由p（a/b）的含義得a的有利事件個(gè)數(shù)也為0個(gè)，所以，這時(shí)規(guī)定p（a/b）=0較妥當(dāng)。而當(dāng)ω為無(wú)限集時(shí)，情況比較復(fù)雜。現(xiàn)舉例如下：
當(dāng)a、b所代表的事件互不影響時(shí)（具體情況時(shí)容易判斷的），規(guī)定p（a/b）=p（a）；當(dāng)b?奐a時(shí)，b發(fā)生可推出a發(fā)生，這時(shí)p（a/b）=1；當(dāng)a、b是互斥事件時(shí)，b發(fā)生時(shí)，推出a不發(fā)生，得p（a/b）=0；當(dāng)b為不可能事件時(shí)，討論p（a/b）實(shí)際上是無(wú)意義的，在不可能事件b發(fā)生條件下a發(fā)生的概率，這句話(huà)本身就是相悖的，但為統(tǒng)一起來(lái)，可定義p（a/b）=0；當(dāng)a、b是互不包含事件時(shí)，情況比較怎復(fù)雜，視具體情況而定。
例5：質(zhì)點(diǎn)m隨機(jī)地均等拋擲到﹝-1，+1﹞區(qū)間上，記a=｛質(zhì)點(diǎn)落在﹝0，1﹞區(qū)間上｝，b=｛質(zhì)點(diǎn)恰好落在點(diǎn)處｝，b1=｛質(zhì)點(diǎn)落在-1，0，，1這四點(diǎn)處｝，b2=｛質(zhì)點(diǎn)落在﹝0，1﹞區(qū)間上的有理數(shù)點(diǎn)處｝，則p（a/b）=1，p（b/b1）=，p（b1/b2）=0。
[1]楊義群.初等概率教學(xué)中定義條件概率的二個(gè)問(wèn)題探討[j].教學(xué)與研究（中學(xué)數(shù)學(xué)）,1984,（4）:3.
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