“反證法”是數(shù)學(xué)中的一種重要的證明方法，不少的數(shù)學(xué)問題的證明都要用反證法，但是不少學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)反證法感到吃力。這里的原因除了與在證明過程中的其他因素有關(guān)外。還有一些阻力是來自學(xué)生心理上的障礙。其實(shí)心理障礙即使在使用直接證明方法時(shí)，也或多或少干擾著學(xué)生推理的順利進(jìn)行。比如，看到兩個(gè)三角形相象時(shí)，思考過程中就老是受視覺上的支配而不自覺地用這兩個(gè)三角形全等作為條件來進(jìn)行推理。這種來自心理上的障礙雖然老師們都能明顯的感覺到，但通常易把它與來自其他因素的推理障礙相混。沒有在客觀上把清除心理障礙當(dāng)作突破反證法的教學(xué)難點(diǎn)來考慮。
學(xué)生的心理結(jié)構(gòu)的發(fā)展過程包括圖式—同化—順應(yīng)—平衡等四個(gè)過程。當(dāng)一個(gè)新知識(shí)出現(xiàn)時(shí)，學(xué)生首先是用舊的認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)對(duì)其進(jìn)行解釋與吸收，將新知識(shí)納入原有的認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)之中。當(dāng)原有的認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)不能解釋，不能容納新知識(shí)時(shí)，則內(nèi)部系統(tǒng)及對(duì)原有認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)進(jìn)行重新改組，擴(kuò)大。使之足以包攝新知識(shí)，達(dá)到新的平衡。學(xué)生在以往學(xué)習(xí)的只是直接證明方法，推理中的每一步在感知上和邏輯上都不會(huì)與原有的知識(shí)系統(tǒng)和認(rèn)識(shí)圖形相互矛盾。他們?cè)诰唧w證明某一題目時(shí)，只須將題目具體內(nèi)容“同化”到他們?cè)械恼J(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)或演繹體系中去。這種感知上與邏輯上的一致性已經(jīng)形成了他們進(jìn)行演繹推理的心理基礎(chǔ)，成為他們達(dá)到心理平衡的依據(jù)。運(yùn)用直接證明方法時(shí)，也有心理障礙存在，但那是由于在錯(cuò)覺影響下，或在下意識(shí)作用下的原因所造成的。而學(xué)習(xí)反證法時(shí)，推理過程中出現(xiàn)的是感知與邏輯上矛盾的情形，與錯(cuò)覺或下意識(shí)是不同的。要使學(xué)生真正掌握反證法。不將學(xué)生原有的演繹體系提高到更高的層次，也就是進(jìn)行“順應(yīng)”的過程，是不可能的。反證法的教學(xué)，不應(yīng)拘泥于教材，宜采取分散難點(diǎn)，逐步滲透，不斷深化的方法。有步驟、有計(jì)劃地落實(shí)到教學(xué)之中，著重培養(yǎng)學(xué)生進(jìn)行形式演繹的能力。
結(jié)果，指導(dǎo)學(xué)生練習(xí)時(shí)，一定要突出兩點(diǎn)：一是要將結(jié)論的反面當(dāng)成新的已知條件后，才能由此推出矛盾的結(jié)果，否則就不能導(dǎo)致矛盾。二是推理要合乎邏輯，否則即使推出了矛盾后，也不能斷言假設(shè)不成立。也就是說在“歸謬”的過程中其推理應(yīng)是無懈可擊的，其矛盾的產(chǎn)生并非別的原因，只因反設(shè)不成立所致。同時(shí)，導(dǎo)致矛盾又有如下幾種情況：一是與已知條件矛盾。
3、“結(jié)論”的練習(xí)：“反證法”中的結(jié)論是指最后得出所證命題的結(jié)論。教學(xué)時(shí)，一定要嚴(yán)格要求“結(jié)論”準(zhǔn)確。否則，將前功盡棄。
“反證法”在幾何、代數(shù)、三角等方面都能應(yīng)用。教學(xué)時(shí)，為了擴(kuò)展學(xué)生的視野，激發(fā)學(xué)生積極性，可適當(dāng)補(bǔ)充這方面的練習(xí)題。另一方面，學(xué)生學(xué)了“反證法”之后，企圖什么證明題都想用“反證法”來證，結(jié)果使一些簡單問題復(fù)雜化了，以致弄巧成拙。教學(xué)時(shí)還應(yīng)強(qiáng)調(diào)，什么時(shí)候用“直接證明法”，什么時(shí)候用“反證法”，應(yīng)依所證命題的具體情況恰當(dāng)使用。
學(xué)生剛接觸“反證法”時(shí)，對(duì)于此法中根據(jù)排中律而“否定反面，肯定正面”的基本思想感到陌生。教學(xué)時(shí)，可通過學(xué)生已有實(shí)踐體會(huì)的淺顯的生活方面的事例讓學(xué)生逐步領(lǐng)會(huì)。開始將“反證法”用于解題時(shí)候，也宜于用學(xué)生已掌握的而且也是最淺顯的例子引入。
有前面的基礎(chǔ)，就要注意講好每一個(gè)具有代表性的例題。特別是重要講好建立新概念或引出新方法時(shí)的第一個(gè)例題。教學(xué)時(shí)，宜于運(yùn)用具體的幾何實(shí)例。逐步說明證明的過程，并啟發(fā)學(xué)生沿著思維規(guī)律進(jìn)行思考，得出“反證法”的一般步驟和規(guī)律：
在學(xué)生初步領(lǐng)會(huì)“反證法”的基本思想，掌握“反證法”的基本方法以后，還應(yīng)靠足夠的練習(xí)來逐步培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用“反證法”證題的能力。練習(xí)要有針對(duì)性，要重點(diǎn)突出，根據(jù)“反證法”的特點(diǎn)，練習(xí)的著重點(diǎn)應(yīng)放在“反設(shè)”、“歸謬”、“結(jié)論”三個(gè)方面。
1、“反設(shè)”的練習(xí)：“反設(shè)”即為“否定結(jié)論”，它是反證法的第一步，它的正確與否，直接影響著“反證法”的后續(xù)部分，學(xué)生初學(xué)時(shí)，往往去否定假設(shè)，教學(xué)時(shí)，應(yīng)注意糾正。要突出“反設(shè)”的含義就是“將結(jié)論的反面作為假設(shè)”。在思考途徑上可指導(dǎo)學(xué)生按以下幾步進(jìn)行：第一要弄清所證命題的題設(shè)和結(jié)論各是什么。第二找出結(jié)論的全面相反情況，注意不要漏掉又不要重復(fù)。第三否定時(shí)用“不”或“不是”加在結(jié)論的前面，再把句子化簡。
2、“歸謬”的練習(xí)：“歸謬”即“假定結(jié)論的反面成立，而導(dǎo)致矛盾?！本褪钦f將結(jié)論的反面作為條件后，經(jīng)過邏輯推理，導(dǎo)出矛盾的結(jié)果，這不但是反證法的主要部分，而且也是核心部分。學(xué)生初學(xué)時(shí)，為宜”。一般來說，用“直接證法”的時(shí)候居多，但遇下列情況可考慮用“反證法”。
2、否定性問題：在此類問題中，結(jié)論的反面即可能就更為具體，常常可以由此去推出矛盾，從而否定可能，而肯定了不可能。
3、唯一性問題：此類問題中，結(jié)論的反面是不唯一的，那么，至少可有兩個(gè)不同者，由此去推出矛盾，來否定不唯一，從而肯定唯一。
4、肯定性問題：此類問題中，有個(gè)帶肯定性的結(jié)論，其反面就是對(duì)前者的否定，由此去推出矛盾，從而使問題獲證。
5、某些“無限”問題：在些類問題中，結(jié)論的反面是“有限”，它比無限更具體，由它推出矛盾，從而否定有限，而肯定無限。
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