有效市場(chǎng)假說一度是研究資本市場(chǎng)的基石，資本資產(chǎn)定價(jià)模型，無套利分析理論都是在該假說的前提下建立的。不過市場(chǎng)上越來越多的異常現(xiàn)象使得有效市場(chǎng)假說面臨挑戰(zhàn)。有效市場(chǎng)假說的一個(gè)重要假設(shè)是證券價(jià)格的變化是獨(dú)立的，價(jià)格呈現(xiàn)隨機(jī)狀態(tài)，不會(huì)表現(xiàn)出某種規(guī)律和趨勢(shì)。其收益率變化應(yīng)該服從正態(tài)分布。對(duì)市場(chǎng)效率的研究主要集中在價(jià)格波動(dòng)是否無序，市場(chǎng)是否均衡。
然而大量的實(shí)證研究表明，現(xiàn)實(shí)的資本市場(chǎng)并不是以線性規(guī)范對(duì)信息做出反應(yīng)，其價(jià)格收益率也不是相互獨(dú)立的，一般呈現(xiàn)出尖峰厚尾等特征，是有偏的隨機(jī)游走。于是近年來，人們將分形理論、非線性系統(tǒng)理論和分?jǐn)?shù)維理論引入資本市場(chǎng)有效性研究中，突破有效市場(chǎng)假說的限制，一種新的分形市場(chǎng)假說開始興起，有效解決了有效市場(chǎng)假說的局限性和缺陷。
分形概念是由法國數(shù)學(xué)家曼德爾布羅特提出的。所謂分形，是指部分和整體的形相似。分形具有某種程度上的自相似性和自放射性特征。擋在不同的尺度下進(jìn)行測(cè)量時(shí)，其形態(tài)、復(fù)雜程度和不規(guī)則性等特征都有相似性，這種相似性成為標(biāo)度不變性。
而r/s分析法是由英國水文學(xué)家赫斯特提出的，其主要思想是分析重標(biāo)度累積均值離差的標(biāo)度行為[1]，是一種研究周期單分形特征的有效工具，能夠判斷時(shí)間序列中分形結(jié)構(gòu)的存在。繼赫斯特提出r/s分析方法后，針對(duì)短期相關(guān)性對(duì)測(cè)度結(jié)果的影響問題，曼徳布特和威廉斯[2]進(jìn)行了改進(jìn)，彼得斯[3]也利用一階自回歸的估計(jì)殘差對(duì)短期依賴性問題進(jìn)行改進(jìn)。大量的國外學(xué)者研究表明，資本市場(chǎng)價(jià)格存在著分形特征。
在我國，對(duì)分形市場(chǎng)的研究大部分集中在股市，對(duì)匯率方面的此類研究較少。王春峰[4]等應(yīng)用r/s分析法研究中國股票市場(chǎng)的長(zhǎng)期記憶性，得出中國股市具有較明顯的長(zhǎng)期記憶性的結(jié)論。張曉莉[5]等對(duì)我國滬深兩市指數(shù)進(jìn)行周和日收益序列，采用非線性估計(jì)方法提高r/s系列分析估計(jì)h參數(shù)的精確度，結(jié)果表明兩市都具有長(zhǎng)期記憶效應(yīng)。楊成義[6]等以中國股市的日收益率為研究對(duì)象，通過對(duì)r/s 雙對(duì)數(shù)曲線以及v統(tǒng)計(jì)量的的擬合研究，結(jié)果表明中國股票市場(chǎng)的收益序列均不服從正態(tài)分布，并且呈現(xiàn)出狀態(tài)的持續(xù)性和長(zhǎng)期記憶性，具有明顯的分形特征。楊桂元[7]和陳艷[8]等也得出相似結(jié)論。但是，胡章明[9]通過r/s分析對(duì)上海股票市場(chǎng)進(jìn)行分析，得出不一樣的結(jié)論，證明在不同的時(shí)間階段，其狀態(tài)持續(xù)性質(zhì)不同。
在匯率市場(chǎng)方面，戴國強(qiáng)[10]等選擇了1984年至1998年15種主要貨幣對(duì)美元每日匯率進(jìn)行研究, 結(jié)果表明匯率波動(dòng)具有狀態(tài)持久性、關(guān)聯(lián)性、周期性和非線性，并且匯率波動(dòng)具有穩(wěn)態(tài)特征。孫繼國、伍海華[11]研究了1994年2月20日至2003 年12月31日的人民幣、日元對(duì)美元的日匯率數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)證分析, 結(jié)果表明中日外匯市場(chǎng)均存在著狀態(tài)的持續(xù)性、關(guān)聯(lián)性和非線性, 但由于數(shù)據(jù)不足, 并未估計(jì)出統(tǒng)計(jì)循環(huán)長(zhǎng)度。黃飛雪等[12]以我國人民幣對(duì)美元、歐元和日元的日匯率中間價(jià)數(shù)據(jù)為研究對(duì)象，得出我國人民幣外匯市場(chǎng)具有明顯的分形特征。戎如香[13]以2005 年7 月21 日~ 2008 年3 月12 日銀行間外匯市場(chǎng)六種貨幣兌人民幣匯率數(shù)據(jù)為樣本, 采用r/ s 分析法對(duì)其日收益率序列進(jìn)行了研究，結(jié)果表明六種貨幣兌人民幣匯率均具有非線性特征, 表現(xiàn)為較強(qiáng)的正狀態(tài)持久性, 其波動(dòng)存在明顯的非周期循環(huán)。
由以上可知，我國在匯率方面的分形市場(chǎng)研究明顯不足于證券市場(chǎng)，所以本文以2005年7月21日至2010年10月29日的人民幣兌美元匯率，人民幣兌歐元，人民幣兌日元的中間報(bào)價(jià)為研究對(duì)象，對(duì)其進(jìn)行r/s分析，以此判斷我國外匯市場(chǎng)的特征。
匯率市場(chǎng)的分形研究為市場(chǎng)的定量分析提供了一種新的思路，也為其監(jiān)管和調(diào)控提供了新的依據(jù)。因?yàn)榻柚诜中魏头蔷€性系統(tǒng)理論，一方面可以解釋市場(chǎng)中更多的復(fù)雜現(xiàn)象，另一方面對(duì)市場(chǎng)波動(dòng)產(chǎn)生更好的預(yù)測(cè)效果。所以，本文研究具有一定的現(xiàn)實(shí)
r/s分析法又稱重新標(biāo)度極差分析法，即重標(biāo)極差分析法，它最大的優(yōu)勢(shì)就是不必假定r/s測(cè)度時(shí)間序列的分布特征，無論分布是正態(tài)的還是非正態(tài)的，r/s分析結(jié)果的穩(wěn)健性均不受影響。
?。?）將其分成a個(gè)長(zhǎng)度為n的相鄰子區(qū)間，n為n/a的整數(shù)部分，分別標(biāo)記為區(qū)間ia（a=1,2……a），則區(qū)間ia中的各元素表示為nk,a（k=1,2……n）。
?。?）當(dāng)0≤h<0.5時(shí)，c< 0, 時(shí)間序列是非持續(xù)性的，時(shí)間序列具有反持續(xù)性，它經(jīng)常被稱為均值回復(fù)的，即如果某一時(shí)刻，序列向上（下）變化，那么，下一時(shí)刻它反轉(zhuǎn)向下（上）變化的可能性比較大。h越接近于0，這種突變的變化越大。
?。?）當(dāng)h=0.5時(shí)，c=0，時(shí)間序列為標(biāo)準(zhǔn)的隨機(jī)游走，不同時(shí)間的值是不相關(guān)的，是有效市場(chǎng)理論所描述的情形。
?。?）當(dāng)0.50，時(shí)間序列具有持續(xù)性，它經(jīng)常被稱為分形時(shí)間序列，即如果某一時(shí)刻，序列向上（下）變化，那么，下一時(shí)刻它很可能繼續(xù)向上（下）變化。h越接近于1，這種持續(xù)性越強(qiáng)。
由式（8）可知，當(dāng)r/s 統(tǒng)計(jì)量與時(shí)間長(zhǎng)度n 的平方根同步增長(zhǎng)時(shí)，v的散點(diǎn)圖將是一條水平線；當(dāng)r/s 統(tǒng)計(jì)量增長(zhǎng)比n的平方根快時(shí)，散點(diǎn)圖出現(xiàn)上升趨勢(shì)，即持續(xù)性發(fā)生，此時(shí)的h值大于0.5，也反映出長(zhǎng)期記憶性的存在；當(dāng)r/s 統(tǒng)計(jì)量比n 的平方根增長(zhǎng)得慢時(shí)，散點(diǎn)圖出現(xiàn)下降趨勢(shì)，即反持續(xù)性發(fā)生，此時(shí)h值小于0.5，不具有長(zhǎng)期記憶性。v統(tǒng)計(jì)量的散點(diǎn)圖由一個(gè)趨勢(shì)變?yōu)榱硪粋€(gè)趨勢(shì)的拐點(diǎn)就是平均周期點(diǎn)，該點(diǎn)對(duì)應(yīng)的時(shí)間長(zhǎng)度就是平均循環(huán)周期。
檢驗(yàn)h指數(shù)的顯著性，引入指數(shù)的期望值e（r/s）和v統(tǒng)計(jì)量的期望值，該期望值是收益率序列隨機(jī)游走情況下的期望值，可用于測(cè)量序列對(duì)隨機(jī)游走的偏離。一般情況下采用式9，式10進(jìn)行計(jì)算：
本文選取2005年7月21日至2010年10月29日人民幣兌100美元，人民幣兌歐元，人民幣兌100日元的中間報(bào)價(jià)日數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)來源于外匯網(wǎng)站的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)與報(bào)告。
設(shè){p t}代表匯率的中間報(bào)價(jià)序列，p t表示時(shí)間t時(shí)刻的匯率的中間報(bào)價(jià)值。則日收益率r（t）可表示為：
相比較與匯率的絕對(duì)數(shù)變化，投資者更關(guān)注收益率的變化，所以本文采用日收益率序列進(jìn)行r/s分析。
利用eviews對(duì)三種匯率的日收益率序列特征進(jìn)行分析，統(tǒng)計(jì)如表1所示，由表可知，人民幣兌美元匯率和人民幣兌歐元匯率的日收益率分布均是左偏的，而人民幣兌日元匯率的日對(duì)數(shù)收益率是右偏的，這表明三個(gè)日收益率均不是圍繞均值對(duì)稱分布的。此外三種日收益率的峰度均大于3，在峰值附近集中取值的頻率大于正態(tài)分布，呈現(xiàn)尖峰狀態(tài)，其中人民幣兌歐元匯率的日收益率的尖峰狀態(tài)比較明顯。而且三種匯收益率的jb統(tǒng)計(jì)量明顯大于臨界值。所以，匯率的收益率分布遠(yuǎn)遠(yuǎn)偏離正態(tài)分布，進(jìn)一步利用r/s分析來驗(yàn)證是否具有分形市場(chǎng)特征。
以人民幣兌美元匯率收益率為例，利用matlab編程計(jì)算r/s，e（r/s），v，v（e（r/s）），并以log10取對(duì)數(shù)做r/s，e（r/s），v，v（e（r/s））四
通過回歸可知，在整個(gè)樣本區(qū)間內(nèi)，人民幣兌美元匯率日收益率的hurst指數(shù)為0.8230，隨機(jī)游走情況下的期望指數(shù)為0.5540。由圖1可知，當(dāng)r/s曲線經(jīng)過某一個(gè)點(diǎn)后開始由線性趨向波動(dòng)性。這樣導(dǎo)致利用最小二乘法取得的h值誤差很大。所以利用對(duì)v統(tǒng)計(jì)量的二次擬合，如圖2所示，找到這個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)，得出循環(huán)區(qū)間，在這個(gè)區(qū)間內(nèi)對(duì)h值進(jìn)行估計(jì)，會(huì)提高h(yuǎn)值的精確度。
通過matlab求區(qū)間最小值，得出在=1.7556時(shí)取得最小值。所以人民幣兌美元匯率市場(chǎng)的循環(huán)期間大致為57天。取n=10到n=57之間的r/s值進(jìn)行回歸，如圖3所示，得出h值為0.5501，隨機(jī)游走情況下的期望指數(shù)e（h）為0.6380。
第一，我國人民幣兌美元匯率，人民幣兌歐元匯率，人民幣兌日元匯率日收益率不滿足有效市場(chǎng)假設(shè)，人民幣外匯市場(chǎng)具有明顯的分形市場(chǎng)特征。
第二，人民幣兌日元匯率市場(chǎng)具有長(zhǎng)達(dá)142天的循環(huán)區(qū)間長(zhǎng)度，人民幣兌歐元匯率市場(chǎng)的循環(huán)區(qū)間長(zhǎng)度為100天，而人民幣兌美元匯率市場(chǎng)的循環(huán)區(qū)間長(zhǎng)度為57天。這表明人民幣兌美元匯率受歷史信息的影響程度較小。
第三，由循環(huán)期間長(zhǎng)度內(nèi)擬合的赫斯特指數(shù)可知，人民幣兌歐元匯率市場(chǎng)的分形特征比較明顯，人民幣兌日元次之。較低的h指數(shù)表明受到噪聲影響的程度較低，也是市場(chǎng)缺乏效率的表現(xiàn)。
第四，v統(tǒng)計(jì)量的二次模擬確定循環(huán)區(qū)間長(zhǎng)度對(duì)赫斯特指數(shù)的精確度提高很有必要。在一個(gè)循環(huán)區(qū)間長(zhǎng)度內(nèi)對(duì)赫斯特指數(shù)進(jìn)行估計(jì)，其結(jié)果可能與整個(gè)樣本區(qū)間估計(jì)有很大不同，但卻是比較精確的取值。
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