摘要： 針對(duì)結(jié)構(gòu)在xy平面內(nèi)具有無(wú)限周期性而在z方向上具有有限尺寸的特性，提出了平面無(wú)限板類聲子晶體的概念。根據(jù)結(jié)構(gòu)特征，將平面波展開(kāi)法和有限元法的基本理論相結(jié)合從而建立了平面波展開(kāi)有限元結(jié)合法。通過(guò)與借助于有限元軟件計(jì)算求得的能帶結(jié)構(gòu)進(jìn)行對(duì)比，從不同材料組分、不同散射體形狀以及不同組元數(shù)等多角度檢驗(yàn)了該方法對(duì)平面無(wú)限板類聲子晶體結(jié)構(gòu)的精確性和適用性。為工程上減振降噪領(lǐng)域板類聲子晶體的應(yīng)用提供了全新有效的理論研究方法。 　　關(guān)鍵詞： 平面無(wú)限板類聲子晶體; 能帶結(jié)構(gòu); 精確性; 適用性; 平面波展開(kāi)有限元結(jié)合法 　　中圖分類號(hào)： O735; O481.1 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A 文章編號(hào)： 1004-4523(2019)05-0793-08 　　DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2019.05.007 　　《電子科技大學(xué)學(xué)報(bào)》(雙月刊)創(chuàng)刊于1959年,是全國(guó)最早的電子類期刊之一，本學(xué)報(bào)是電子科技大學(xué)主辦的由國(guó)家教育部主管的自然科學(xué)類期刊，是集創(chuàng)造性、學(xué)術(shù)性、科學(xué)性為一體的電子綜合性刊物。 　　引 言 　　近幾十年來(lái)，被稱之為聲子晶體的人造周期彈性復(fù)合結(jié)構(gòu)已經(jīng)吸引了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛興趣[1-3]。這類聲子晶體結(jié)構(gòu)以其獨(dú)有的聲/彈性帶隙特性在濾波器、聲波導(dǎo)以及傳感器等應(yīng)用方面存在很多潛在的可能[4-6]。在現(xiàn)有的研究當(dāng)中，主要存在Bragg散射[7-8]和局域共振[9-10]這兩種帶隙形成機(jī)制，并且前者帶隙所對(duì)應(yīng)的頻段要比后者高兩個(gè)數(shù)量級(jí)[9]。近幾年來(lái)，將聲子晶體的設(shè)計(jì)思想引入到一些基本彈性結(jié)構(gòu)中所構(gòu)成的聲子晶體桿、聲子晶體梁以及聲子晶體板等結(jié)構(gòu)也獲得了一批學(xué)者的關(guān)注和研究[11-21]。 　　總的來(lái)說(shuō)，不論是帶隙特性還是應(yīng)用性研究，均離不開(kāi)行之有效的能帶結(jié)構(gòu)計(jì)算方法。目前比較成熟的方法有傳遞矩陣法[22-23]、有限差分法[24-25]、多重散射法[26-27]、集中質(zhì)量法[28-29]、平面波展開(kāi)法[30-33]和有限元法[34-35]。傳遞矩陣法一般先建立單個(gè)周期的傳遞矩陣，繼而結(jié)合周期邊界條件關(guān)聯(lián)相鄰層參數(shù)，從而求得精確解。具有計(jì)算量小，可以獲取傳輸特性的解析解等優(yōu)點(diǎn)，但只適用于一維聲子晶體。多重散射法具有收斂性好、適用性強(qiáng)、揭示帶隙機(jī)理等優(yōu)點(diǎn)，但對(duì)散射體的形狀太過(guò)依賴，只能計(jì)算形狀為圓柱或球體的聲子晶體。有限差分法可以有效計(jì)算不同種類聲子晶體的能帶結(jié)構(gòu)，但在三維問(wèn)題方面存在計(jì)算量過(guò)于龐大、穩(wěn)定性差和數(shù)值頻散等問(wèn)題。平面波展開(kāi)法是聲子晶體研究中最常用的算法之一，可以很好地應(yīng)用于只包含固體或流體的聲子晶體。收斂性是平面波展開(kāi)法最常被提到的問(wèn)題，且無(wú)法用于精確計(jì)算由固體和流體材料組合而成的聲子晶體。集中質(zhì)量法通過(guò)將連續(xù)介質(zhì)中的密度集中到有限個(gè)節(jié)點(diǎn)上從而將連續(xù)系統(tǒng)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)離散問(wèn)題，具有收斂性不受材料彈性常數(shù)影響且可以處理任意單元結(jié)構(gòu)等優(yōu)點(diǎn)，但它只適用于固/固聲子晶體。近年來(lái)，隨著COMSOL Multiphysics，ATILA等可以設(shè)置Floquet周期邊界條件的商業(yè)軟件的出現(xiàn)和發(fā)展，有限元法在聲子晶體相關(guān)研究中的應(yīng)用越來(lái)越廣泛[13，16-19]。有限元法收斂性好、通用性強(qiáng)，可以被用于計(jì)算各種類型聲子晶體以及有缺陷的聲子晶體的能帶結(jié)構(gòu)。但該方法一般要對(duì)較多Bloch波矢逐一進(jìn)行計(jì)算，在處理稍微復(fù)雜的聲子晶體結(jié)構(gòu)時(shí)整個(gè)過(guò)程計(jì)算效率并不高，而且囿于現(xiàn)有軟件，計(jì)算效率也很難提高。對(duì)于本文提出的平面無(wú)限板類聲子晶體結(jié)構(gòu)，礙于其結(jié)構(gòu)特性，上述方法中除有限元法外其余方法均不適用。 　　對(duì)于研究已較為成熟的傳統(tǒng)聲子晶體，不論一維、二維還是三維，其尺寸在空間三個(gè)方向上均是理想化的無(wú)限大。而實(shí)際工程中很多結(jié)構(gòu)，往往在其中兩個(gè)方向上尺寸很大且具有周期性，而在另外一個(gè)方向上尺寸相對(duì)較小且并無(wú)周期性。本文將這種類型的周期彈性復(fù)合結(jié)構(gòu)稱之為平面無(wú)限板類聲子晶體結(jié)構(gòu)，其與傳統(tǒng)聲子晶體結(jié)構(gòu)的區(qū)別在于并非所有方向的尺寸均無(wú)限大。根據(jù)結(jié)構(gòu)在xy平面內(nèi)具有的無(wú)限周期性以及在z方向上具有的有限性，筆者將空間傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)和有限單元?jiǎng)澐诌M(jìn)行耦合來(lái)描述空間位移場(chǎng)，從而建立平面波展開(kāi)有限元結(jié)合法并用于能帶結(jié)構(gòu)計(jì)算。為了驗(yàn)證該方法的適用性，本文分別從不同材料組分、不同散射體形狀以及不同組元數(shù)這三個(gè)方面加以比較說(shuō)明。此外，為了驗(yàn)證該方法的準(zhǔn)確性，所有計(jì)算結(jié)果均與有限元法進(jìn)行對(duì)比。有限元法的有效實(shí)施借助于商業(yè)軟件COMSOL Multiphysics。 　　1 模型以及公式化 　　平面無(wú)限板類聲子晶體的結(jié)構(gòu)示意圖如圖1(a)所示。從圖中可以看出，該類聲子晶體結(jié)構(gòu)是通過(guò)將基體材料沿著周期方向周期性挖孔并填充另外一種材料而構(gòu)成。該聲子晶體沿著非周期方向的長(zhǎng)度是H，沿著周期方向的晶格常量為a，具體晶胞如圖1(b)所示。 　　根據(jù)變分原理以及參照無(wú)限桿類聲子晶體結(jié)構(gòu)的推導(dǎo)過(guò)程[37]，耦合倒格矢空間下的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)平衡方程可以寫為K-ω2Mδ=0 　　(14)式中 K=∑eKe和M=∑eMe分別表示由單元?jiǎng)偠染仃嚭蛦卧|(zhì)量矩陣組裝而成的總剛度矩陣和總質(zhì)量矩陣，其中僅包含在z方向的單元?jiǎng)澐?，而在xy平面內(nèi)是空間傅里葉級(jí)數(shù)的展開(kāi)形式。δ=∑eδe則表示總的節(jié)點(diǎn)位移矢量。 　　方程(14)即典型的關(guān)于ω2的廣義特征值問(wèn)題。對(duì)于每一給定的波矢k，通過(guò)求解廣義特征值可得到相對(duì)應(yīng)的一系列特征頻率。通過(guò)遍歷所有的不可約Brillouin區(qū)邊界上的波矢，最終得到該平面無(wú)限板類聲子晶體的能帶結(jié)構(gòu)。 　　2 數(shù)值結(jié)果和分析 　　本節(jié)分別從不同材料組分、不同散射體形狀以及不同組元數(shù)呈現(xiàn)了3組算例(如圖2所示)。為了檢驗(yàn)該方法的準(zhǔn)確性，每組算例計(jì)算得到的能帶結(jié)構(gòu)均與采用有限元法計(jì)算獲得的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。其中，有限元法的實(shí)現(xiàn)借助于商業(yè)軟件COMSOL Multiphysics，而平面波展開(kāi)有限元結(jié)合法采用文獻(xiàn)[38]中介紹的改進(jìn)平面波展開(kāi)法來(lái)提高計(jì)算精度。 　　2.1 由不同組元材料構(gòu)成的圓柱狀散射體二元平面無(wú)限板類聲子晶體 首先，計(jì)算以鉛為散射體橡膠為基體的圓柱狀散射體二元平面無(wú)限板類聲子晶體的能帶結(jié)構(gòu)，其晶胞結(jié)構(gòu)如圖2(a)所示。計(jì)算所用到的材料參數(shù)和幾何參數(shù)分別如表1和2所示。 　　圖3給出了計(jì)算所得到的該平面無(wú)限板類聲子晶體能帶結(jié)構(gòu)。在這里，xy平面內(nèi)的倒格矢?jìng)€(gè)數(shù)取N=(5*2+1)2個(gè)，沿z方向單元數(shù)取5個(gè)。作為對(duì)比，圖3同樣給出了用有限元法求得的能帶結(jié)構(gòu)。從圖中可以看出，該聲子晶體在低頻段打開(kāi)較為寬廣的帶隙。此外，通過(guò)對(duì)比兩種方法求得的能帶結(jié)構(gòu)，它們幾乎完全吻合。因此，對(duì)于散射體為圓柱狀的鉛/橡膠平面無(wú)限板類聲子晶體，只需在xy平面內(nèi)取少量的平面波數(shù)以及在z方向取少許的單元數(shù)就可以得到相當(dāng)精確的結(jié)果。 　　為了驗(yàn)證平面波展開(kāi)有限元結(jié)合法對(duì)組元材料各異的平面無(wú)限板類聲子晶體的適用性，分別計(jì)算了散射體為圓柱狀的鋼/環(huán)氧樹脂和鋼/鋁平面無(wú)限板類聲子晶體的能帶結(jié)構(gòu)，如圖4所示。計(jì)算所用到的幾何參數(shù)與圖3中算例一致，且材料參數(shù)如表1所示。此外，計(jì)算所選取的倒格矢?jìng)€(gè)數(shù)和單元數(shù)也與圖3中算例相同。從圖4(a)中可以看出，鋼/環(huán)氧樹脂聲子晶體可以在高頻打開(kāi)很寬的布拉格散射型帶隙，而圖4(b)則顯示鋼/鋁聲子晶體并未打開(kāi)帶隙。 　　此外，對(duì)比圖3，4(a)和4(b)中兩種方法求得的能帶結(jié)構(gòu)，雖然構(gòu)成聲子晶體的組元材料不同，但兩種方法計(jì)算得到的前幾階能帶均能很好吻合。因此，可以作如下結(jié)論：平面波展開(kāi)有限元結(jié)合法可以很好地用來(lái)計(jì)算不同組元材料構(gòu)成的平面無(wú)限板類聲子晶體。但是圖中也顯示出了高階能帶雖然大致趨勢(shì)相同，但還是存在一定差異性，并不能如低階能帶一樣幾乎完全吻合。這可以歸因于平面波展開(kāi)法與有限元法計(jì)算能帶結(jié)構(gòu)時(shí)所采用的數(shù)值理論不同，前者為空間傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)而后者為單元?jiǎng)澐?。這在分別選用平面波展開(kāi)法和有限元法計(jì)算傳統(tǒng)聲子晶體的能帶結(jié)構(gòu)時(shí)展現(xiàn)出來(lái)的現(xiàn)象是一致的[1]。 　　2.2 散射體為不同形狀的二元平面無(wú)限板類聲子晶體 為了驗(yàn)證平面波展開(kāi)有限元結(jié)合法對(duì)散射體為不同形狀的平面無(wú)限板類聲子晶體的適用性，計(jì)算了散射體為長(zhǎng)方體狀的鉛/橡膠平面無(wú)限板類聲子晶體(晶胞如圖2(b)所示)的能帶結(jié)構(gòu)，如圖5所示。計(jì)算所用的材料參數(shù)和幾何參數(shù)分別如表1和2所示。 　　從圖5中可以看出，用平面波展開(kāi)有限元結(jié)合法和有限元法這兩種方法所求得的能帶結(jié)構(gòu)在低階基本一致，而在高階則趨勢(shì)相同但有所偏差。如上一小節(jié)所述，這是由數(shù)值方法的基本理論本身決定的，因此平面波展開(kāi)有限元結(jié)合法同樣可以有效地用于計(jì)算散射體為長(zhǎng)方體狀的平面無(wú)限板類聲子晶體能帶結(jié)構(gòu)。綜合圖3和5，可以下結(jié)論為：本文提出的方法對(duì)散射體截面形狀為矩形和圓形的二元平面無(wú)限板類聲子晶體均可適用。 　　2.3 圓柱狀散射體三元平面無(wú)限板類聲子晶體 　　為了進(jìn)一步驗(yàn)證平面波展開(kāi)有限元結(jié)合法對(duì)三元平面無(wú)限板類聲子晶體的適用性，計(jì)算了由橡膠包覆的鉛圓柱狀散射體埋在環(huán)氧樹脂基體中所構(gòu)成的三元平面無(wú)限板類聲子晶體的能帶結(jié)構(gòu)，單胞如圖2(c)所示。計(jì)算所用到的材料參數(shù)和幾何參數(shù)分別如表1和2所示。 　　3 結(jié) 論 　　本文針對(duì)平面無(wú)限板類聲子晶體具備的結(jié)構(gòu)特性，建立了計(jì)算其能帶結(jié)構(gòu)的平面波展開(kāi)有限元結(jié)合法，并給出了詳細(xì)的公式推導(dǎo)。所有能帶結(jié)構(gòu)均與有限元法計(jì)算得到的結(jié)果有很好的一致性。此外，給出了三組算例來(lái)從多角度討論了該方法的適用性。得到以下主要結(jié)論： 　　1)通過(guò)對(duì)比分析散射體為圓柱狀的鉛/橡膠、鋼/環(huán)氧樹脂和鋼/鋁二元平面無(wú)限板類聲子晶體的能帶結(jié)構(gòu)，可以下結(jié)論為：平面波展開(kāi)有限元結(jié)合法適用于由不同組分材料構(gòu)成的平面無(wú)限板類聲子晶體結(jié)構(gòu)。 　　2)通過(guò)對(duì)比分析散射體形狀為圓柱狀和長(zhǎng)方體狀的二元平面無(wú)限板類聲子晶體的能帶結(jié)構(gòu)，可以下結(jié)論為：本文提出的方法適用于散射體截面形狀為圓形和矩形的平面無(wú)限板類聲子晶體結(jié)構(gòu)。 　　3)通過(guò)對(duì)比分析散射體為圓柱狀的鉛/橡膠二元平面無(wú)限板類聲子晶體和橡膠包裹的鉛/環(huán)氧樹脂三元平面無(wú)限板類聲子晶體的能帶結(jié)構(gòu)，可以下結(jié)論為：本文提出的方法不僅適用于二元，而且適用于三元平面無(wú)限板類聲子晶體。 　　所有研究結(jié)果均驗(yàn)證了平面波展開(kāi)有限元結(jié)合法具備強(qiáng)適用性和高精確性，只需少量的單元數(shù)和倒格矢?jìng)€(gè)數(shù)就可以獲得足夠精確的結(jié)果，這為處理這類在xy平面具有周期性而在z方向具有有限性的半無(wú)限周期彈性復(fù)合結(jié)構(gòu)提供了一個(gè)新的方法。但目前該方法只能用于沿z方向xy截面是常量的結(jié)構(gòu)，對(duì)更為一般的結(jié)構(gòu)還有待進(jìn)一步研究。 　　參考文獻(xiàn)： 　　[1] 溫熙森， 溫激鴻， 郁殿龍， 等. 聲子晶體[M]. 北京：國(guó)防工業(yè)出版社， 2009. 　　[2] Sigalas M， Kushwaha M S， Economou E N， et al. 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